Seine fußballerische Laufbahn begann Aleksandar Dragović mit sechs Jahren im violetten Nachwuchs und zeigte schon in frühen Jahren sein Talent. Er absolvierte die gesamte Nachwuchsabteilung und später auch die Akademie, feierte mit der violetten U17 zweimal hintereinander den Meistertitel und kam Mai 2008 mit 17 Jahren zu seinem Debüt bei den Austria Amateuren in der damaligen Ersten Liga. Schon zwei Monate danach im Juli 2008 erhielt Aleksandar Dragović die Chance in der Bundesliga aufzulaufen. Seine Einwechslung für Mario Bazina beim 2:2 in Kapfenberg startete seine violette „Kampfmannschaft-Karriere“. Nach ersten Einsätze im ÖFB-Cup, auf der europäischen Bühne und sechs Partien in der Ersten Liga wurde er dann ab November 2008 unter Trainer Karl Daxbacher zum Stammspieler des FK Austria Wien, mit dem er am 24. Mai 2009 im Finale gegen die Admira seinen ersten Cup-Titel gewann.

In der Saison 2009/2010 spielte Aleksandar Dragović 32 Bundesliga-Spiele und neun Europacup-Matches, darunter fünf in der Gruppenphase der UEFA Europa League – an seiner Seite damals: Jacek Bąk und Manuel Ortlechner. „Drago“ feiert mit dem FK Austria Wien den Vize-Meistertitel hinter dem FC Red Bull Salzburg  und erarbeitet sich mit damals 18 Jahren unter Teamchef Didi Constantini in der WM-Qualifikation schon einen Stammplatz im ÖFB Nationalteam.

Nach seinem ersten und bis jetzt einzigen Treffer für die violetten Profis im Dezember 2010 startet „Drago“ – nach 93 Spielen für den FK Austria Wien – im Jänner 2011 beim FC Basel, wo er zum Stammspieler wird und auch den Meistertitel in der Schweiz feiert. In der Saison 2011/12 gewinnt er mit den Rot-Blauen das Schweizer Double, wird 2012/13 – wie damals auch die Violetten – erneut Meister und schafft mit Basel den Einzug ins Halbfinale der UEFA Europa League.

Im Sommer 2013 folgt der Wechsel zu Dynamo Kiew, wo er wieder auf Anhieb einen Titel gewinnt und Cupsieger wird. 2014/2015 holt der Wiener erneut das nationale Double aus Meisterschaft und Pokal, ein Jahr darauf feiert er mit dem ukrainischen Hauptstadtklub den nächsten Meistertitel und gewinnt damit im sechsten Jahr in Folge zumindest einen Titel. In der Sommerpause 2016 absolviert Dragović mit Österreich die Europameisterschaft in Frankreich, bleibt aber glücklos.

Von 2016 bis 2021 steht „Drago“ bei Bayer Leverkusen unter Vertrag, wobei er in der Saison 2017/18 an Leicester City verliehen ist. Für die Foxes absolviert Dragović 16 Partien, für die Werkself in fünf Jahren 106 Spiele, womit er nur knapp hinter den 109 für Dynamo Kiew und den 112 für Basel bleibt. Am häufigsten läuft er aber für Roter Stern Belgrad auf, wo er nach der Europameisterschaft 2021 hinwechselte.

Der heute 33-Jährige gewann mit dem serbischen Topklub dreimal in Folge das nationale Double, macht 136 Spiele und ist am Ende bei Roter Stern Belgrad auch Kapitän. Im März 2022 absolviert Dragović sein 100. Länderspiel für Österreich, bis dato auch seine letzte Partie für Rot-Weiß-Rot. Ein Jahr danach, Ende März 2023, werden Christina und Aleksandar Eltern eines Sohnes, im Mai 2024 heiratet das Paar und verlegt den Lebensmittelpunkt nach Österreich.

Im Sommer 2024 kehrte der 100-fache ÖFB Nationalspieler Aleksandar Dragović – nach 13 Jahren im Ausland – zum FK Austria Wien zurück und unterzeichnete einen Vertrag bis Sommer 2027.